Studiował lutnię i vihuelę pod kierunkiem Hopkinsona Smitha w Schola Cantorum Basiliensis, a następnie we Francji u Eugène’a Ferrégo. W 1998 roku wraz z kontratenorem José Hernándezem-Pastorem założył zespół El Cortesano, by zgłębiać hiszpański repertuar na vihuelę. W 2002 roku duet wydał pierwszy album poświęcony wyłącznie pochodzącemu z Valladolid kompozytorowi i vihueliście Estevanowi Daçy. W 2009 roku powstał drugi album, tym razem skupiony wokół muzyki innego, mało znanego vihuelisty – urodzonego w Salamance Diega Pisadora.

W 2008 roku Abramovich rozpoczął pracę nad repertuarem angielskich pieśni lutniowych z XVI i XVII wieku, współpracując z tenorem Johnem Porterem – owocem tej współpracy stały się nagrania Amores Pasados i Secret History dla wytwórni ECM, zrealizowane wraz z Anną Marią Friman i Jacobem Heringmanem. Ich wspólny projekt Alternative History na nowo przedstawia renesansową polifonię w formie pieśni lutniowej, wzorem muzyków XVI i XVII wieku. Ideę tę Abramovich przenosi także na grunt muzyki współczesnej, wykonując utwory takich twórców rockowych jak John Paul Jones (Led Zeppelin), Tony Banks (Genesis) czy Sting. Wspólnie z Jacobem Heringmanem wydał również Cifras Imaginarias – album intabulacji na dwie lutnie.

Od 2013 roku, wraz z sopranistką Marią Cristiną Kiehr, tworzy duet Armonía Concertada, koncentrujący się na XVI-wiecznej muzyce Półwyspu Iberyjskiego. Niedawno nawiązał także współpracę z sopranistką Perrine Devillers, wspólnie zgłębiając repertuar włoskiego Cinquecenta.

Ariel Abramovich jest ponadto aktywnym pedagogiem – prowadzi kursy mistrzowskie w konserwatoriach, szkołach i uczelniach muzycznych na całym świecie, między innymi w Hiszpanii, Niemczech, Brazylii, Argentynie, Stanach Zjednoczonych, Czechach, na Słowacji, w Kolumbii, Ekwadorze i Urugwaju.